ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΙΣΤΟΡΙΚΗ  ΑΝΑΔΡΟΜΗ

             Η Προοπτική, σαν γεωμετρικό σύστημα απεικόνισης, εφαρμόσθηκε κατά την Αναγέννηση αντλεί όμως την καταγωγή της από την κλασσική αρχαιότητα.

Πράγματι κατα την περίοδο της Αναγέννησης, όπου παρατηρείται στροφή προς την εμπειρική πραγματικότητα, επιστήμονες και καλλιτέχνες αναζητούν διδάγματα στην σκέψη και την τέχνη της αρχαιότητας.  Η τέχνη γίνεται πάλι ανθρωποκεντρική και μιμητική και οι καλλιτέχνες ανατρέχουν σε αρχαίες πηγές και μελετούν συστηματικά το έργο των αρχαίων φιλοσόφων και μαθηματικών. Μεγάλοι καλλιτέχνες της Αναγέννησης, όπως ο Leon Batista Alberti,  o Piero della Francesca, o  Leonardo da Vinci  κ. ά., οι οποίοι εδραίωσαν την θεωρία  και την πρακτική της Προοπτικής απεικόνισης και την χρησιμοποίησαν σαν μέσο έκφρασης και δημιουργίας,  σε πολλά σημεία αντλούν τις γνώσεις τους από τις αρχές της Ευκλείδιας Οπτικής, τις οποίες προσπαθούν κατά το δυνατόν να μεταφέρουν στο επίπεδο του πίνακα. Ετσι κατέληξαν στην προοπτική μέθοδο απεικόνισης μέσω της κεντρικής προβολής και της τομής της οπτικής δέσμης με το επίπεδο του πίνακα. Αυτό το σύστημα απεικόνισης αποδίδει την οπτική εμπειρία μόνο για πολύ περιορισμένη γωνία οράσεως και όχι σε όλες τις περιπτώσεις. Κατά κανόνα προκύπτουν παραμορφώσεις στα άκρα της εικόνας οι οποίες σε πολλές περιπτώσεις είναι μεγάλες. Οπως παρατηρεί ο Pierro della Francesca,⁽¹⁾ στο έργο του “De Prospectiva pingendi” όταν η γωνία του οπτικού πεδίου είναι μεγαλύτερη από 90° οι παραμορφώσεις της εικόνας είναι πολύ μεγάλες. Αυτές οι παραμορφώσεις θα ήσαν σημαντικά περιορισμένες αν η οπτική δέσμη τεμνόταν με μία σφαιρική επιφάνεια όπως περίπου μπορεί να θεωρηθεί η επιφάνεια του αμφιβληστροειδή. Εάν το σχήμα που θα σχηματισθεί  στην σφαιρική επιφάνεια μεταφερθεί στο επίπεδο σχεδίασης, θα προκύψει μία επίπεδη εικόνα σε ένα σύστημα καμπυλόγραμμης προοπτικής απεικόνισης η οποία σε πολλές περιπτώσεις αποδίδει την οπτική εμπειρία πιο πιστά από  την εικόνα που θα προέκυπτε μέσω της κλασσικής γραμμικής προοπτικής.

 

 

 

Σχήμα 1

Σχηματική απεικόνιση κούρσας αλόγων από τον Da Vinci.  (C. Pedreti “Leonardo on Cyrvilinear Perspectrive.”)

Σχήμα 2

Σχηματική απεικόνιση του Da Vinci για το πέταγμα των πουλιών

(C. Pedreti “Leonardo on Cyrvilinear Perspectrive.”)

Στην εισαγωγή αυτή θα παρακολουθήσουμε τον προβληματισμό και τις θεωρίες,    καλλιτεχνών και επιστημόνων, τις σχετικές με την καμπυλόμορφη αντίληψη του χώρου που έχει τις ρίζες της , όπως θα αναλύσουμε ,στην Ευκλείδια Οπτική και την δυνατότητα μεταφοράς της στο επίπεδο του πίνακα. Ο προβληματισμός  αυτός προέκυψε από την επιθυμία των καλλιτεχνών για περισσότερο πιστή απεικόνιση αφ΄ενός και από τη σύγκριση αφ΄ετέρου της Προοπτικής με τις καμπυλόγραμμες αρχές της φυσικής όρασης που είχαν διατυπωθεί στην Οπτική του Ευκλείδη.  

Σε ένα από τα διασωθέντα χειρόγραφα της περί Προοπτικής πραγματείας του Leonardo da Vinci ( Ms. E  (1514-1514) fol. 4r ⁽²⁾) συναντάμε γραπτή αναφορά σε καμπυλόγραμμη εντύπωση.  Ο μεγάλος καλλιτέχνης ήταν γνώστης της Ευκλείδιας οπτικής τις βασικές αρχές της οποίας είχε αποδεχθεί.  Για να διορθώσει τις παραμορφώσεις που προκαλούν οι κανόνες της κλασσικής μετωπικής προοπτικής απεικόνισης στα αντικείμενα που είναι τοποθετημένα στα πλάγια του χώρου ή προς τα επάνω, βασιζόμενος στην Ευκλείδια οπτική γωνία η οποία σε κάθε περίπτωση εκφράζει το φαινόμενο μέγεθος του αντικειμένου, καταλήγει σε μία καμπυλόγραμμη προοπτική.

Σύμφωνα με  όσα αναφέρει ο Carlo Pedreti στο σχετικό άρθρο περι καμπυλόγραμμης  προοπτικής του  Leonardo da Vinci ⁽³⁾, o καλλιτέχνης  γίνεται γνώστης του    φαινομένου της καμπυλόγραμμης παραμόρφωσης γύρω στο  1505, ενώ παρατηρούσε το πέταγμα των πουλιών  και τον καλπασμό των αλόγων. Στο φύλλο 120 (40)v του χειρογράφου Κ  αναφέρει: “... Εάν το μάτι τοποθετηθεί στο μέσον της κούρσας δύο αλόγων που καλπάζουν κατά μήκος  παραλλήλων γραμμών, θα φανεί ότι αυτά τα άλογα μετακινούνται το ένα προς το άλλο. Αυτή η εντύπωση παράγεται από το γεγονός ότι οι εικόνες των αλόγων αποτυπωμένες πάνω στην επιφάνεια του ματιού κινούνται προς το κέντρο της κόρης...” (Σχήμα 1).  Ακολούθως, στο φύλλο 121 (41)r  συνεχίζει “.. και εάν ένα πουλί πετάει κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής, πέρα μακρυά από το μάτι του παρατηρητή, θα φανεί ότι για κάθε βαθμό κίνησης θα αποκτά ένα βαθμό κατεβάσματος.. ⁽⁴⁾ (Σχήμα 2)

Στο χειρόγραφο  Ε 16 r-v συναντάμε το σχήμα των τριών κιόνων των οποίων το προοπτικό μέγεθος εξαρτάται κάθε φορά από την οπτική γωνία  και υλοποιείται μεσω της τομής των οπτικών ακτίνων με μία σφαιρική επιφάνεια (Σχήμα  3). Οταν το σημείο οράσεως είναι κοντά, οι δύο εξωτερικοί κίονες θα φαίνονται σημαντικά μικρότεροι (λόγω του μεγέθους της οπτικής γωνίας ) από τον κεντρικό, ενώ όταν το σημείο οράσεως είναι μακρυά οι αντίστοιχες οπτικές γωνίες και επομένως τα φαινόμενα μεγέθη εξισώνονται ενώ στην γραμμική προοπτική εν γένει με την απομάκρυνση απεικονίζονται φαρδύτεροι.

            Ρητή αναφορά του Leonardo σε καμπυλόγραμμη προοπτική παραμόρφωση υπάρχει στο χειρόγραφο Ε (1513 - 1514 ) φύλλο 4r. ⁽⁵⁾, αναφέρει δέ συγκεκριμμένα: “.. ένας μακρύς ορθογώνιος τοίχος αποτελούμενος από 4 πλευρές και 4 γωνίες, θα φανεί στο μάτι με τις ανώτερες και κατώτερες πλευρές ευθείες ή καμπυλόγραμμες”. Στην απόδειξη που ακολουθεί αναφέρεται σε ευθείες γραμμές μόνο και συμπληρώνεται από τα αντίστοιχα σχήματα: “.. προς στιγμήν μία τέτοια ορθογώνια  μορφή θα εμφανισθεί σαν εξαγωνική που θα αποτελείται από 6 πλευρές και 6 γωνίες. Αυτό αποδεικνύεται από την δεύτερη πρόταση που λέει ότι ανάμεσα σε ισομεγέθη αντικείμενα αυτό που είναι πιο μακρυά θα φαίνεται ότι έχει μικρότερο μέγεθος.     Ετσι το ύψος op ⁽⁶⁾ ενός τοίχου rtop (Σχήμα  4)  είναι μικρότερο  από το ύψος   ab τη   στιγμή που η ευθεία  pf είναι  μακρύτερη από την bf  κατά το τμήμα pm το οποίο επί παραδείγματι είναι το 1/3 του bf.  Ετσι το op  θα είναι μικρότερο του ab  κατά 1/3.  Οπως αποδείξαμε πιο πάνω συμπεραίνουμε ότι οι δύο ευθείες ro και tp του πρώτου  σχήματος διαιρούνται  σε 4 ευθείες γραμμές  (Σχ. 5) rp, ts και rq ,th και αυτές οι γραμμές θα είναι ευθείες..”

Σχήμα   3

Σκίτσo του Da Vinci αναφερόμενο στις προοπτικές  εικόνες ίσων κυλίνδρων ή σφαιρών .

(C. Pedreti “Leonardo on Cyrvilinear Perspectrive.”)

Από όλα όσα  ήδη αναφέραμε προκύπτει το συμπέρασμα ότι ο Leonardo  είχε κατά νού κάποιο σύστημα καμπυλόγραμμης προοπτικής το οποίο όμως δεν  χρησιμοποίησε στα έργα του.

            Περί τα μέσα του 15ου αιώνα , στη Βόρεια Ευρώπη, δύο καλλιτέχνες περίπου ταυτόχρονα   “ανακάλυψαν” και εφάρμοσαν στα έργα τους την καμπυλόγραμμη προοπτική.  Ο πρώτος ήταν ο Ελβετός ζωγράφος Konrad Witz ⁽⁷⁾ o οποίος συχνά χρησιμοποιούσε καμπύλες γραμμές για να αποδόσει τα αρχιτεκτονικά στοιχεία που περιέβαλλαν τις διάφορες μορφές στους πίνακές του.  Ο δεύτερος  ήταν ο Γάλλος καλλιτέχνης Jean Fouquet, γνωστός για τις μινιατούρες του, ο οποίος χρησιμοποιούσε πολύ έντονες καμπύλες θέλοντας να δείξει την φυσική σάρωση των οπτικών ακτίνων σε ευρείες γωνίες καθώς και την ασταθή εντύπωση των πολύ υψηλών κατακορύφων (Σχ.6).  Κανείς από τους δύο καλλιτέχνες δεν φαίνεται να έχει χρησιμοποιήσει ακριβείς γεωμετρικές μεθόδους, αλλά  η απομάκρυνσή τους από τον συνήθη τρόπο απεικόνισης καθοδηγήθηκε καθαρά από τα ερωτήματα πως βλέπουμε και πως μπορούμε καλλίτερα να αναπαραστήσουμε τον χώρο.

Σχήμα 4

Ο κατακόρυφος τοίχος optr προβάλλεται από το σημείο οράσεως f στην σφαιρική επιφάνεια mb.

Σχήμα 5

 Σχηματική απεικόνιση της προοπτικής εικόνας του τοίχου. Οι οριζόντιες ευθείες συγκλίνουν προς δύο κατευθύνσεις.

Αργότερα, θεωρητικοί, ασχολήθηκαν κατά καιρούς, ευκαιριακά, με παρόμοια ερωτήματα.Ο Jean Pelerin  (Viator) στην μελέτη του ⁽⁸⁾ επί της προοπτικής “ De Artificiali perspectiva ” που δημοσιεύθηκε το 1505, αναφέρεται σε περιστροφή του οπτικού  άξονα κατά την σάρωση του ματιού χωρίς εν τούτοις να αναφέρεται σε καμπυλόγραμμες εντυπώσεις.   Πρώτος ο William Schickhard ⁽⁹⁾, το 1623, ισχυρίζεται ότι είναι αναγκαίο οι καλλιτέχνες να αποδεχθούν τις αρχές που διέπουν μία καμπυλόγραμμη  προοπτική απεικόνιση.

 Jean      Fouquet                                            Σχήμα  6

Σύμφωνα με τους ισχυρισμούς  του, όλες οι ευθείες, ακόμα και αυτές που κατευθύνονται προς το κέντρο του ματιού φαίνονται καμπύλες. Κατά συνέπεια, ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ  (Σχ. 7) πρέπει να απεικονίζεται με όλες τις πλευρές του καμπύλες  οι οποίες ανά δύο τεμνόμενες θα ορίζουν τέσσερα σημεία φυγής Φ1, Φ2, Φ3  και Φ4 τα οποία θα ισαπέχουν από το κέντρο του τετραγώνου.

Πριν από το 1800, δεν υπάρχουν ούτε θεωρητικές ούτε καλλιτεχνικές συστηματικές αναφορές στην καμπυλόγραμμη απεικόνιση. Οι πειραματισμοί του Baldassare Lanci  και  του Carel Fabritus παρέμειναν μεμονομένοι .    

Ο         Baldassare Lanci ⁽¹⁰⁾ τo 1557, χρησιμοποιεί διάφορους αυτοσχέδιους μηχανισμούς για να καθορίσει, με πειραματικές μεθόδους, προοπτικές εικόνες στην εσωτερική επιφένεια κυλινδρικών ή σφαιρικών θόλων, βασιζόμενος στο έργο του Vignola “Le Due  Regole”.  Σύμφωνα με την καμπυλόγραμμη τεχνική του Lanci, ένας κατακόρυφος τοίχος XY κάθετος στον οπτικό άξονα και διηρημένος σε ίσες διαιρέσεις (Σχ 8) εάν προβληθεί στην καμπύλη επιφάνεια  ΓΔ από το οπτικό κέντρο Ο και κατόπιν αυτή η επιφάνεια αναπτυχθεί επάνω στο κατακόρυφο επίπεδο ΑΒ, θα παρουσιάσει τις επάνω και κάτω  πλευρές του καμπύλες, ενώ τα ίσα διαστήματα όσο απομακρύνονται από τον οπτικό άξονα θα εμφανίζονται μικρότερα.  Στο σχήμα 9 παρουσιάζεται αναλυτικότερα η μέθοδος του Lanci.   Το  τμήμα ΧΥ  ‘εχει διαιρεθεί σε  τέσσερα ίσα τμήματα. Εάν  αυτά  προβληθούν από το Ο επάνω στον κατακόρυφο πίνακα ΑΒ // ΧΥ θα προκύψουν τα σημεία  Χ1, Η1, Ζ1,Κ1 και Υ1  οι δε διαιρέσεις θα παραμείνουν ίσες έστω και  αν τα τμήματα  ΧΗ   και ΚΥ βρίσκονται  σε μεγαλύτερη απόσταση από το σημείο οράσεως Ο από τα ΗΖ και ΖΚ (Σχ. 9). Αντίθετα, εάν προβληθούν στην καμπύλη επιφάνεια ΓΔ, προκύπτουν τα σημεία Χ’, Η’,Ζ1, Κ’ και Y’ τα δε τμήματα Χ”Η” και Κ”Y” θα είναι μικρότερα από τα Η’Ζ1 και Ζ1Κ’.

Θα πρέπει στο σημείο αυτό να παρατηρήσουμε ότι ο Lanci  περιορίστηκε στην καμπυλότητα των οριζοντίων ευθειών και αγνόησε αυτήν των κατακορύφων.

Το 1652   ο ζωγράφος Carel Fabritus για να αποδόσει το τοπίο στο έργο του  Vieu  in Delft  (Σχ.  10) . χρησιμοποιεί έντονες καμπύλες  τις οποίες είναι πιθανό να έχει χαράξει με την μέθοδο του Lanci ή κάποια παρόμοια.

Σχήμα 7

Kαμπυλόγραμμη απεικόνιση του τετραγώνου ΑΒΓΔ σύμφωνα με τη θεωρία του W. Shickhard.  

Περί το τέλος του 1700   ο καθηγητής Προοπτικής Thomas Malton ⁽¹¹⁾ στην  πραγματεία του  “A  Compleat Treatise on Perspective......  Λονδίνο 1779” διαχωρίζει κατ αρχήν την   Προοπτική από την οπτική εντύπωση. Σύμφωνα με

Σχήμα  8

 Σχηματική απεικόνιση της προοπτικής εικόνας ενός τοίχου βάσει της  κυλινδρικής προοπτικής του  B. Lanci.

Σχήμα9

        Αναλυτική παρουσίαση της μεθόδου του Β. Lanci.

                     Carel Fabritus, View in Delft                 Σχήμα    10

           (London, 1652, National Gallery)

ην άποψή του, η Προοπτική είναι η επίπεδη τομή του οπτικού κώνου ή της οπτικής πυραμίδας ενώ η οπτική εντύπωση είναι η τομή  των οπτικών στερεών με μία σφαιρική επιφάνεια.  Ο Malton, ασχολήθηκε αρκετά με τους κανόνες του καμπυλόγραμμου συστήματος, αμφισβήτησε όμως την πρακτικότητά του.  Για να ενισχύσει την άποψή του, αναφερόμενος στον σύγχρονό του ζωγράφο J.M.W. Turner , υποστηρίζει ότι ο Turner (Σχ. 11) πειραματίσθηκε κατά διαστήματα με την καμπυλόγραμμη προοπτική, χωρίς όμως να την αποδέχεται, λόγω της μη πρακτικότητας της, σαν την κατ’ εξοχήν μέθοδό του.

Περί τα μέσα του  19ου αιώνα, ο Αγγλος καλλιτέχνης και ερασιτέχνης αστονόμος William Herdman εκπόνησε μελέτες και σχέδια βασιζόμενος σε καμπυλόγραμμες αρχές. Το  1853 εξέθεσε τις απόψεις του στην μελέτη του  “A Curvilinear Perspective of Nature, Λονδίνο και Λίβερπουλ 1853”. Πριν αναπτύξει την θεωρία του ο Herdman περιγράφει⁽¹²⁾ αρχικά τις συνήθεις τεχνικές προσπαθώντας να τονίσει τις αδυναμίες τους. Σαν παράδειγμα τονίζει  το “παράδοξο” όπως το αποκαλεί μιας μετωπικής κιονοστοιχίας όπου οι κίονες προοδευτικά όσο απομακρύνονται από τον παρατηρητή που βρίσκεται στην θέση Ε (Σχ. 12) εμφανίζονται στο προοπτικό φαρδύτεροι. Πράγματι εκ πρώτης όψεως, εμφανίζεται σαν παράδοξο. Οι κίονες που βρίσκονται πιο μακρυά από το Ε θα έπρεπε να εμφανίζονται με μικρότερο μέγεθος.  Αναλύοντας το παράδειγμα θα παρατηρήσουμε ότι ο παρατηρητής από την θέση Ε  δεν βλέπει ίσομεγέθη  τμήματα από κάθε κίονα . Από τον c1 βλέπει το τόξο Α1Β1, από τον c2  το Α2Β2, από τον c3 το Α3Β3 και από τον c4 το Α4Β4.  Οσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση από τον παρατηρητή τόσο μεγαλύτερο είναι το τμήμα του κίονα ⁽¹³⁾  το οποίο φαίνεται . Δηλαδή το τόξο Α4Β4 είναι μεγαλύτερο από το Α3Β3  κ.ο.κ.  Για τον λόγο αυτόν έχουμε την αύξηση του πλάτους στο προοπτικό. Εάν αντικαταστήσουμε τους κίονες με πεσσούς (Σχ. 13) τετραγωνικής διατομής θα διαπιστώσουμε εύκολα την διαφορετική εικόνα που βλέπει κάθε φορά ο παρατηρητής απο την θέση Ε.  Από τον 1ο πεσσό φαίνεται μόνο η πλευρά ΑΒ ενώ απο τους υπόλοιπους φαίνεται και η ΓΔ. Στην προοπτική εικόνα, σε όλους τους πεσσούς η ΑΒ θα διατηρήσει το μέγεθός της λόγω της μετωπικότητας του θέματος ενώ η εικόνα της ΓΔ θα αυξάνει σε μέγεθος  λόγω της αύξησης της οπτικής γωνίας. Το “παράδοξο”  είναι  η διατήρηση  του μεγέθους της εικόνας της ΑΒ  σε όλες τις θέσεις  παρ’ όλη τη μείωση της οπτικής γωνίας και αυτή είναι μία από τις αδυναμίες του συστήματος απεικόνισης. 

J.M.W. Turner, Petworth Park,  1828                        Σχήμα  11 

         (London, Tate Gallery)         

Ο  Herdman, αντικαθιστά την κλασσική προοπτική απεικόνιση με μία καμπυλόγραμμη προοπτική, όπου δέσμες καμπύλων γραμμών  (Σχ. 14 ) διασταυρούνται,  διερχόμενες από τρεις πόλους οι οποίοι αντιστοιχούν στα σημεία φυγής των παραλλήλων ευθειών.

            Στις απεικονίσεις του Herdman η εντύπωση της καμπυλότητας σε θέματα που παρατηρούνται από μεγάλη απόσταση, είναι αδιόρατη.  Ακόμα όμως και  σε πιο κοντινά πλάνα , όπως αυτό του Σχήματος  15 , οι καμπυλόγραμμες εντυπώσεις είναι διακριτικές και καθόλου ενοχλητικές. Ομως ενώ τις οριζόντιες ευθείς τις αντικαθιστά με περισσότερο ή λιγότερο έντονες καμπύλες, δεν φαίνεται να κάνει το ίδιο για τις κατακόρυφες τις οπποίες διατηρεί κάθετες στον ορίζοντα. Αυτός είναι ένας από τους βασικούς λόγους αμφισβήτησης της ορθότητας της άποψής του.  Η βασικότερη όμως αιτία ήταν το ότι τα κτίρια που απεικονίζοντο  με βάση τις καμπυλόγραμμες αρχές, έδιναν την εντύπωση ότι

Σχήμα  12

Μετωπική προοπτική απεικόνιση ίσων κυλίνδρικών κιόνων. Το προοπτικό πλάτος των κιόνων αυξάνει συνεχώς με την απομάκρυνση από το σημείο οράσεως κ

Σχήμα 13α

Σχεδιαστική ερμηνεία  της αύξησης του πλάτους  στο προοπτικό μέσω αντικατάστασης των κιόνων από πεσσούς είχαν συντεθεί  από καμπύλα στοιχεία και συνέχιζαν να φαίνονται “παράξενα”.

Τις καμπυλόγραμμες αρχές του Herdman, επιβεβαιώνει ο καθηγητής Παραστατικής Γεωμετρίας του Πανεπιστημίου του Βερολίνου  Guido Hack, σε μία περίοδο  όπου υπήρχαν έντονες συζητήσεις σχετικά με τις καμπύλες που είχαν ανακαλυφθεί στα Ελληνικά μνημεία.

Σχήμα  14

Προοπτική εικόνα κτιρίων, βάσει της αρχής της καμπυλόγραμμης Προοπτικής του Herdman.

(M. Kemp, The science of Art)

Περί τα τέλη του 19ου αιώνα, οι ακριβείς μετρήσεις στα Δωρικά μνημεία της κλασσικής αρχαιότητας, απεκάλυψαν τις καμπύλες του θριγκού και του κρηπιδώματος όπως επίσης την ένταση και μείωση στους Δωρικούς κίονες. Οι καμπύλες αυτές αποδίδονται κατά βάσιν σε οπτικούς λόγους και μία ομάδα Γερμανών και Αγγλων επιστημόνων εμπλέκεται σε πολύπλοκες συζητήσεις.  Επί παραδείγματι ο  F.C. Penrose, διατύπωσε την άποψη⁽¹⁴⁾ ότι οι καμπύλες στο οριζόντιο γείσο των Δωρικών ναών, είχαν σχεδιασθεί με σκοπό να ισοροπήσουν 

Σχήμα 16 α

Ανάλυση της μεθόδου καμπυλόγραμμης απεικόνισης του G. Hauck  
(M. Kemp , The Science of Art)

ην οπτική απάτη που προκαλούσαν τα τριγωνικά αετώματα της κλασσικής Αρχιτεκτονικής.  Ο καθηγητής Hauck , απέριπτε στο σύνολό της αυτήν την ερμηνεία και αντέτεινε ενα σύμπλοκο

Σχήμα  16 β

Προοπτική εικόνα των πεσσών του σχήματος 16α βάσει της μεθόδου καμπυλόγραμμης απεικόνισης του G. Hauck    
(M. Kemp , The Science of Art)

επιχείρημα βασιζόμενο στην υποκειμενική καμπυλότητα. Στην μελέτη του “Die subjectiven Perspective und die horizontalen Curvaturen des dorischen Styls” που δημοσιεύθηκε το 1879, υποστηρίζει ^{(15 )} ότι  υπάρχουν δύο είδη προοπτικής:  η “ευθύγραμμη” και η “υποκειμενική”.   Η πρώτη είναι η συμβατική προοπτική, σύμφωνα με τους κανόνες της οποίας οι καλλιτέχνες αποδίδουν τα θέματά τους, ενώ η δεύτερη αναφέρεται στις καμπυλόγραμμες αρχές της φυσικής όρασης.  Αυτές τις καμπύλες της φυσικής όρασης , σύμφωνα με την υποκειμενική προοπτική του Hauck , οι  Ελληνες  αντικατέστησαν με γραμμές αντίθετης καμπυλότητας, ώστε να δίδεται σε κάθε περίπτωση η εντύπωση της ευθείας γραμμής.

Στο σχήμα 16  τετράγωνες κολώνες απεικονίζονται με το σύστημα του G. Hauck  ( Die subjective Perspective, Στουτγκάρδη 1879).

Ο καθηγητής G. Hauck, αν και ανέπτυξε επαρκώς τις αρχές της καμπυλόγραμμης προοπτικής, δεν παρότρυνε τους καλλιτέχνες να ζωγραφίζουν εφαρμόζοντας τους νόμους της. Αντίθετα, σε δύο μελέτες του  που απευθύνονται κυρίως  σε ζωγράφους, αναλύει διεξοδικά την ευθύγραμμη προοπτική και με αναφορές του  σε ειδικές θέσεις των χωρικών σχημάτων, καθορίζει τα σημεία φυγής οριζοντίων και λοξών ευθειών, τα σημεία αποστάσεως, τα σημεία μετρήσεως, την προοπτική υψομετική κλίμακα κ. α.

         Σχήμα  17  

M.C. Escher, En haut et en bas, Λιθογραφία  , 1947
(Bruno Ernst, Le miroir magique de M.C.Escher)  

Σχήμα  18

Η περιγραφή της οπτικής εικόνας των τηλεγραφικών καλωδίων κατά τον Escher.  
(Bruno Ernst, Le miroir magique de M.C.Escher)  

Περί τα μέσα του 20ου αιώνα, ο γνωστος καλλιτέχνης M.C. Escher “ανακαλύπτει” και μελετά ⁽¹⁶⁾ την καμπυλόγραμμη προοπτική.  Από τα πρώτα έργα του με την νέα τεχνική είναι η λιθογραφία “En haut et en bas “ (1947), όπου οι οριζόντιες και κατακόρυφες ευθείες αντικαθίστανται από καμπύλες γραμμές. (Σχήμα 17).  Ο Escher, μελέτησε την οπτική αντίληψη παρατηρώντας τον  περιβάλλοντα χώρο.  Ακολουθώντας με το βλέμα, από διάφορες θέσεις, τα τηλεγραφικά καλώδια, καταλήγει στο συμπέρασμα ότι οι καμπύλες γραμμές αποδίδουν πειστικότερα από τις ευθείες την οπτική μας εικόνα. Στο σχήμα 18 απεικονίζεται ένας άνθρωπος ξαπλωμένος στο γρασίδι ανάμεσα σε δύο τηλεγραφικές κολωνες και παρατηρεί τα παράλληλα καλώδια. Τα σημεία Q και P είναι τα πλησιέστερα προς αυτόν, και συμμετρικά ως προς τον οπτικό του άξονα. Εάν κοιτάζει ευθεία εμπρός  θα βλέπει τις γραμμές να συγκλίνουν στο σημείο V1, ενώ εάν κυτάζει προς τα πίσω τις βλέπει να συγκλίνουν στο V2. Επομένως , κατά τον Escher, εάν θέλουμε να αποδόσουμε αυτό που πραγματικά βλέπουμε, τα τηλεγραφικά καλώδια θα πρέπει να σχεδιασθούν όπως στο σχήμα 18β. Ομως με μία τέτοια απεικόνιση, στα σημεία Q και P διασπάται η συνέχεια ενώ εάν οι τεθλασμένες ανικατασταθούν με καμπύλες (Σχ 18γ)   η συνέχεια αποκαθίσταται.  Στο  σημείο  αυτό τίθεται το ερώτημα για το είδος της καμπύλης .  Κατά την άποψη του Escher , όπως το βλέμα διαγράφει το καλώδιο για να το παρατηρήσει στο σύνολό του, αποτυπώνει σταδιακά διάφορες εικόνες (σκηνές) . Οι εικόνες αυτές  είναι άπειρες και ανήκουν σε μία κυλινδρική επιφάνεια  της οποίας και αποτελούν επίπεδη τομή.  Στο Σχήμα 19  γίνεται μία  

Σχήμα  19
Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου του Escher.
(Bruno Ernst, Le miroir magique de M.C.Escher)  

γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου του Escher.   Μία κυλινδρική επιφάνεια  αντικαθιστά το επίπεδο του πίνακα.  Επί της επιφανείας αυτής από το οπτικό κέντρο Ο  προβάλλονται τα χωρικά αντικείμενα. Ακολούθως αναπτύσσεται η επιφάνεια και οι μετασχηματισμένες των καμπύλων που έχουν προκύψει από τις προβολές ειναι οι τελικές προοπτικές εικόνες  των αντικειμένων.  Στο συγκεκριμμένο παράδειγμα του σχήματος 19,  από το οπτικό κέντρο Ο θεωρούμε αρχικά το οριζόντιο επίπεδο  ΑΒΓΔ το οποίο ειναι  ο ορίζοντας του παρατηρητή. Οι ευθείς α  και β του χώρου έχουν επιλεγεί παράλληλες και  ορθογώνιες ως προς τον οπτικό άξονα  x x’ όπως και τα τηλεγραφικά καλώδια του σχήματος 18. Το οπτικό κέντρο Ο ορίζει με τις ευθείες α και β δύο επίπεδα τα οποία τέμνουν την κυλινδρική επιφάνεια κατα τις ελλείψεις c1 και  c2 .  Οι ελλείψεις αυτές  τέμνονται πάνω στο επίπεδο του ορίζοντα στα σημεία V1  και V2.    Εάν αναπτύξουμε την κυλινδρική  επιφάνεια θα προκύψουν επι του επιπέδου σχεδίασης  οι μετασχηματισμένες  c1’ και  c2’ των τομών c1 και  c2 αντιστοίχως. Οι καμπύλες αυτές είναι σύμφωνα με την μέθοδο του Escher, οι προοπτικές εικόνες των ευθειών α και β. Αυτές ακριβώς τις καμπύλες

Σχήμα  20

Προπαρασκευαστικη μελετη  της λιθογραφίας  En haut et en bas  

(Bruno Ernst, Le miroir magique de M.C.Escher)  

Σχήμα  21  

Cage d’ ecalier  Λιθογραφία  1951  
(Bruno Ernst, Le miroir magique de M.C.Escher)  
Σχήμα  22

χρησιμοποίησε ο Escher  στα σκίτσα του τα αναφερόμενα στην κατασκευή του “En haut et en bas” (σχήματα  20 και 21) όπως επίσης και στην λιθογραφία  Cage d’ escalier (σχήμα  22 ) .   Κατ’ αυτόν τον τρόπο, δημιουργεί έναν χωρικό κάναβο από τις ημιτονοειδείς  καμπύλες  που προκύπτουν από το ανάπτυγμα της  κυλινδρικής επιφάνειας (Σχ. 23) και με βάση αυτόν κάναβο χτιζει τις συνθέσεις του. (Σχ.24).  Οι εικόνες όμως παρουσιάζουν παραμορφώσεις οι οποίες κατά βάσιν οφείλονται στην εξ’ αρχής παραδοχή ότι η όραση θεωρείται κυλινδρική.

  Το 1963, κυκλοφόρησε στη συλλογή  Que sais-je?  ένα τεύχος για την Προοπτική το οποίο είχαν συντάξει οι A. Flocon και  R. Taton^{(17 )} με αναφορές μία καμπυλόγραμμη προοπτική, όχι πλέον κυλινδρική αλλά σφαιρική. 

Το 1968, από τις εκδόσεις Flamarion, κυκλοφορεί το βιβλίο των A. Barr’e και  A. Flocon ⁽¹⁸⁾ “ La Perspective Curviligne”, όπου γίνεται μία προσπάθεια εμπειρικής μεν αλλά συστηματικής ανάλυσης μιας σφαιρικής προοπτικής. Τα διάφορα χωρικά αντικείμενα, προβάλλονται από το κέντρο μιας σφαίρας, η οποία αποτελεί τον πίνακα, επάνω στην επιφάνειά της. Ακολούθως μέσω του μετασχηματισμού του Postel  η εικόνα που έχει προκύψει στην επιφάνεια της σφαίρας μεταφέρεται στο επίπεδο.

Ειδικότερα, εάν θεωρήσουμε  την σφαιρα του σχήματος 25, το επίπεδο Α είναι το επίπεδο του παρατηρητή, το οριζόντιο επίπεδο C είναι το επίπεδο του ορίζοντα και το εγκάρσιο επίπεδο Β περιέχει τον άξονα της  όρασης. Μετά από την μεταφορά στο επίπεδο, ο πίνακας απεικονίζεται από ένα  κύκλο (κ) , ο ορίζοντας είναι η οριζόντια διάμετρος c, η δέ κατακόρυφη  διάμετρος β είναι το ίχνος του εγκαρσίου επιπέδου που περιέχει τον άξονα της όρασης. Το πρωτεύον σημείο φυγής, δηλαδή το σημείο φυγής των καθέτων προς το επίπεδο του παρατηρητή ευθειών, είναι το κέντρο Ο του κύκλου. 

Ο καμπυλόγραμμος χωρικός κάναβος του Εscher
(Bruno Ernst, Le miroir magique de M.C.Escher) 

Σχήμα  23

Χαράξεις στην λιθογραφία cage d’ escalier
(Bruno Ernst, Le miroir magique de M.C.Escher)

Σχήμα  24  

Τα τρία επίπεδα αναφοράς.  
(A.Barre-A Flocon, La perspective curviligne)

Σχήμα  25

Σχήμα  26

Καμπυλόγραμμη προοπτική αμεικόνιση τετραγωνικού κανάβου.
  (A.Barre-A Flocon, La perspective curviligne)

Σχήμα  27

                                               Σκάλες σε μετωπική καμπυλόγραμμη απεικόνιση                                                           (A.Barre-A Flocon, La perspective curviligne)  

Το βασικό μειονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι το ότι είναι κατά βάσιν εμπειρική μέθοδος και χρειάζονται πολύπλοκες πράξεις για να καθοριστούν τα τόξα στα οποία μετασχηματίζονται οι ευθείες . Τα οπτικά μεγέθη εκφράζονται από τις οπτικές γωνίες που τα περιέχουν, αλλά πολλές φορές απαιτούνται υπολογισμοί μέσω της τριγωνομετρίας για να υπολογισθούν οι οπτικές αυτές γωνίες  και κατόπιν να μεταφερθούν τα μεγέθη στον πίνακα σχεδίασης. Ομως, πέρα από τις σχεδιαστικές δυσκολίες, οι εικόνες που προκύπτουν απεικονίζουν μία ευρεία άποψη του χώρου με σχετικά μικρές παραμορφώσεις. Η απεικόνιση των ίδιων χώρων με τους κανόνες της γραμμικής προοπτικής θα είχε σαν αποτέλεσμα εικόνες με πολύ μεγάλες παραμορφώσεις.

Η ευρεία αυτή εισαγωγική παρουσίαση των προσπαθειών επιστημόνων και καλλιτεχνών, απο την Αναγέννηση και μετά, για την καμπυλόγραμμη απεικόνιση, αποβλέπει στο να δείξει τον προβληματισμό τους σχετικά με το ερώτημα πως βλέπουμε και πως μπορούμε πιο πιστά να απεικονίσουμε την οπτική εμπειρία. Ο προβληματισμός αυτός ανέκυψε από διάφορες αδυναμίες του συστήματος της κλασσικής προοπτικής αφ’ ενός και από την σύγκρισή της με τις καμπυλόγραμμες αρχές της φυσικής όρασης που είχαν διατυπωθεί στην Οπτική του Ευκλείδη  και την οποία γνώριζαν οι καλλιτέχνες που θεμελίωσαν την  Προοπτική. Αυτή τη σύγκριση και τον προβληματισμό που συνεπάγεται θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε  μέσα από την ανάλυση της Οπτικής του Ευκλείδη, με  σχεδιαστικές ερμηνείες και προοπτικές παρατηρήσεις.  Η προσέγγιση της Ευκλείδιας Οπτικής από την άποψη της Προοπτικής,  γίνεται 

n     υιοθετώντας ή ανασκευάζοντας απόψεις διαφόρων μελετητών

n      μέσω πρωτότυπης προοπτικής ερμηνείας

n     μέσω αποδεικτικής ερμηνείας με Η/Υ, παρέχει δε τη δυνατότητα να γνωρίσουμε τις Προοπτικές γνώσεις που υπήρχαν κατά την Κλασσική αρχαιότητα. Μέσα από τις προτάσεις (θεωρήματα) και την διαδικασία της απόδειξής τους, τις οποίες θα προσεγγίσουμε και θα ερμηνεύσουμε απο την άποψη της Προοπτικής, προκύπτουν οπτικές (προοπτικές)  παρατηρήσεις περί της οπτικής αντίληψης επιπέδων και χωρικών σχημάτων από διάφορες θέσεις του παρατηρητή οι οποίες είναι χρήσιμες στους καλλιτέχνες που επιδιώκουν είτε να μιμηθούν τη φύση, είτε να εντάξουν τα έργα τους σε αρμονία με αυτήν. Η όλη αντίληψη του χώρου , όπως προκύπτει από τις προτάσεις της Οπτικής είναι καμπυλόμορφη. Οι καλλιτέχνες, γνωρίζοντας ότι στη φύση δεν υπάρχουν γεωμετρικές ευθείες αλλά καμπύλες, υιοθετούν την καμπυλόμορφη αντίληψη του χώρου που διατυπώθηκε από τον Ευκλείδη και η οποία προσανατολίζει προς ένα σύστημα απεικόνισης βασιζόμενο στα μέτρα των οπτικών γωνιών,  το οποίο και  εφαρμόζουν στα έργα τους, ώστε υποτάσσοντάς τα στους φυσικούς νόμους να έχουν το εύρυθμο αποτέλεσμα που επιδιώκουν. Αυτή την υπόθεση θα προσπαθήσουμε να υποστηρίξουμε:

n     βασιζόμενοι στην γνώση που προκύπτει από την Οπτική του Ευκλείδη

n    αναλύοντας σχετικά αρχαία κείμενα που αναφέρονται στην ύπαρξη συστήματος απεικόνισης

n    αναλύοντας έργα Τέχνης και Αρχιτεκτονικής,

- παρατηρώντας την εξέλιξη της Προοπτικής σε έργα αγγειογραφίας⁽¹⁹⁾

- μελετώντας και αποδεικνύοντας της ακρίβεια των χαράξεων σε τοιχογραφίες της Ελληνιστικής περιόδου

- αναλύοντας το σύστημα χαράξεων που παρατηρήσαμε σε Πομπηιανές τοιχογραφίες

- υπογραμμίζοντας τις ποικίλες οπτικές επεμβάσεις στα έργα της κλασσικής Αρχιτεκτονικής και

- αναλύοντας προοπτικά τα οπτικά τεχνάσματα που παρατηρούνται σε έργα Αρχιτεκτονικής της Αναγέννησης και τα οποία ερμηνεύονται μέσα από τις προτάσεις της Ευκλείδιας Οπτικής.

Τέλος, συνδυάζοντας τις αρχές της Οπτικής με τις σύγχρονες μεθόδους παράστασης, παραθέτουμε  ένα σύστημα καμπυλόγραμμης προοπτικής. Το σύστημα αυτό βασίζεται στην Παραστατική Γεωμετρία (σύστημα Monges)  και είναι η απεικόνιση της στερεογραφικής προβολής επιπέδων και χωρικών σχημάτων, όπου:

n    Το επίπεδο της στερεογραφικής προβολής και το κέντρο της έχουν κατάλληλα επιλεγεί ώστε να απλουστεύονται οι κατασκευές

n    Οι προοπτικές κατασκευές γίνονται με απλές γεωμετρικές μεθόδους (όπως κατακλίσεις επιπέδων) που βασίζονται στην Παραστατική Γεωμετρία και με διατήρηση αντίστοιχων  όρων της γραμμικής Προοπτικής ώστε οι δύο μέθοδοι να μπορούν να είναι εύκολα συγκρίσιμες.

n    Ο τρόπος απεικόνισης σημείων , ευθειών και σχημάτων του χώρου αναλύεται σταδιακά και επαρκώς ώστε να είναι δυνατό η μέθοδος να εφαρμόζεται χωρίς δυσκολία σε κάθε περίπτωση.

n    Τέλος, καθορίστηκαν οι σχέσεις που συνδέουν το τυχόν σημείο του χώρου με την συγκεκριμμένη στερεογραφική προβολή του και με την κατάλληλη εισαγωγή τους σε προγράμματα Η/Υ (Mathematica, Autocad), μπορούμε πλέον να έχουμε καμπυλόγραμμες απεικονίσεις μέσω των υπολογιστών.  

Η όλη μελέτη διαρθρώνεται σε τρία μέρη.  Αντικείμενο του πρώτου μέρους είναι η ανάλυση των προτάσεων της Ευκλείδιας Οπτικής και κυρίως εκείνων που τεκμηριώνουν την καμπυλόμορφη οπτική αντίληψη καθώς και η παρουσίαση των προοπτικών παρατηρήσεων του Ευκλείδη των σχετικών με τα αντηληπτά επίπεδα και χωρικά σχήματα. Στο 1ο κεφάλαιο αναπτύσσονται οι φιλοσοφικές αντιλήψεις που επικρατούσαν από τις αρχές του 5ου π.χ. αιώνα σχετικά με την όραση και τη λειτουργία της οπτικής αντίληψης. Από αυτές , ο Ευκλείδης υιοθετεί τις Πυθαγορείου προέλευσης απόψεις του Πλάτωνα και τοποθετεί επικεφαλής των αξιωμάτων του  την άποψη ότι οι οπτικές ακτίνες πορεύονται από το μάτι και περιβάλλουν το αντικείμενο. Στο 2ο κεφάλαιο αναφέρονται γενικά οι γεωμετρικές θεωρήσεις περί της οπτικής αντίληψης από την εποχή του Ευκλείδη μέχρι τον 4ο μ. χ.  Αιώνα.  Οι διαφορές μεταξύ των απόψεων των μαθηματικών της αρχαιότητας στα θέματα της όρασης , όσον αφορά στη γεωμετρική ερμηνεία της αίσθησης δεν είναι σημαντικές. Η Ευκλείδια Οπτική, διδάσκεται στην Αλεξάνδρεια μέχρι τον 4ο μ.χ. αι.  και συναντάται πάλι , σε αραβική και λατινική μετάφραση από τον φιλόσοφο του Ισλάμ του 10ου μ.χ. αι. Alhazen.

Στο 2ο μέρος της μέλέτης, η ερμηνεία αρχαίων κειμένων και οι προοπτικές παρατηρήσεις σε έργα τέχνης και αρχιτεκτονικής της κλασσικής , Ελληνιστικής και Ρωμαικής περιόδου, οδηγούν στο συμπέρασμα ότι οι καλλιτέχνες έφτιαχναν τα έργα τους βάσει κάποιων οπτικών -προοπτικών μεθόδων και συστημάτων.

Τέλος, στο 3ο μέρος  προτείνεται και αναλύεται ένα σύστημα καμπυλόγραμμης προοπτικής απεικόνισης για σύγχρονες εφαρμογές, μέσω μιας στερεογραφικής προβολής, το οποίο βασίζεται στις  αρχές της Ευκλείδιας Οπτικής . Είναι μία  γραφική γεωμετρική μέθοδος στην οποία η προοπτική εικόνα προκύπτει από την κάτοψη και την όψη του θέματος με κατάλληλες γεωμετρικές χαράξεις. Οι ευθείες αποδίδονται εν γένει από καμπύλες, τα δε  οπτικά μεγέθη εκφράζονται από τις οπτικές γωνίες με τις οποίες φαίνονται από το σημείο οράσεως. Τα συγκριτικά παραδείγματα απεικονίσεων στην ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη προοπτική που παραθέτουμε, φανερώνουν ότι με την καμπυλόγραμμη απεικόνιση οι παραμορφώσεις σε πολλές περιπτώσεις περιορίζονται. Το σύστημα αυτό,  ειδικά όταν η σχεδίαση γίνεται μέσω Η/Υ, οπότε η καμπυλότητα των ευθειών περιορίζεται στο ελάχιστο, ανταποκρίνεται καλύτερα στην οπτική εμπειρία.

Σχήμα  28

     Αποψη από ψηλά.   Πίνακας με  κλιση προς τα εμπρός.  
 (A.Barre-A Flocon, La perspective curviligne)

Σχήμα 29

Αποψη προς τα άνω. Πίνακας με κλίση προς τα πίσω.  
(A.Barre-A Flocon, La perspective curviligne)

Σχήμα 30  

Αποψη από ψηλά με κεκλιμμένο πίνακα.  
(A.Barre-A Flocon, La perspective curviligne)  

Σχήμα  31

Καμπυλόγραμμη  απεικόνιση με τον πίνακα κατακόρυφο.  
(A.Barre-A Flocon, La perspective curviligne)